Mathematics notes: November 2012

Barisan (sequence) didefinisikan sebagai suatu susunan objek, khususnya bilangan, baik itu terbatas atau terhitung, sehingga memungkinkan korespondensi satu-satu dengan subset bilangan asli. Barisan yang paling sederhana adalah barisan aritmatika. Barisan ini didefinisikan sebagai suatu susunan bilangan dengan pola tertentu yang mana selisih antara dua suku yang berurutan selalu konstan.

Pola gerakan seorang pemain golf dapat dipandang sebagai barisan (sequence)

Implikasi dari definisi memungkinkan kita menentukan satu anggota barisan aritmatika pada posisi yang spesifik dengan suatu persamaan matematika, yang saya yakin sebagian dari kita sudah familiar dengan persamaan yang dimaksud. Namun bila tidak, ia umumnya dinyatakan sebagai berikut:

Misalnya a sebagai bilangan pertama dalam barisan aritmatika dan b adalah selisih antara dua suku yang berurutan, maka Un adalah suku ke-n dari barisan, yang dinyatakan sebagai:

$U_{n}=a+(n-1)b$

Contohnya, barisan bilangan genap berikut,

$12, 14, 16, 18,. . .$

diketahui bahwa a=12 dan b=2, jadi suku ke-6 dihitung dengan,

$U_{n}=12+(n-1)2=12+2n-2=2n+10$

$U_{6}=2(6)+10=22$

Sebagian dari anda mungkin tidak asing dengan bilangan dalam pola ini

Namun bagaimana dengan barisan aritmatika yang sepertinya bukan barisan aritmatika (polanya belum terlihat dengan sekali saja menghitung selisih dari dua suku berurutan) perhatikan contoh dibawah ini,

$4, 7, 12, 19, 28,...$

Barisan seperti ini susunan bilangannya tidak secara langsung sesuai dengan definisi, namun apabila dianalisis lebih lanjut ternyata, selisih dari tiap dua suku berurutannya justru membentuk barisan aritmatika, perhatikan bahwa perlu dua kali perhitungan untuk melihat baris ini mengikuti definisi :

$\begin{matrix} I & &&& 2 & 2& 2\\ II &&& 3&5 & 7& 9\\ III &&4& 7 & 12 & 19& 28 \end{matrix}$

(Perhatikan : tiap bilangan pada baris baru merupakan selisih dua suku berurutan baris dibawahnya)
Untuk menentukan Un dari barisan seperti ini (kita sebut saja "barisan bertingkat") dapat digunakan persamaan berikut:

$<a_{n}>=a_{n}+(n-1)a_{n-1}+\frac{(n-1)(n-2)}{2!}a_{n-2}+\frac{(n-1)(n-2)(n-3)}{3!}a_{n-3}+...+\frac{(n-1)(n-2)...(1)}{(n-1)!}a_{1}$

yang mana n disini menyatakan banyak tingkat dari barisan awal hingga didapat pola aritmatik dan $\inline a_{n}$ merupakan suku awal tiap tingkat.
Jadi untuk barisan bilangan diatas akan didapat persamaan sebagai berikut:

$<4>_{n}=4+(n-1)3+\frac{(n-1)(n-2)}{2!}2$

yang mana setelah disederhanakan akan diperoleh:

$<4>_{n}=U_{n}=n^{2}+3$

Bukti bahwa persamaan umum diatas tidak jatuh begitu saja dari langit dapat anda pelajari dalam bukti dibawah ini:

Misalkan suatu barisan bertingkat dengan suku awal tiap tingkat masing-masing $\inline a_{1}, a_{2}, a_{3},..., a_{n}$ yang mana barisan pada tingkat pertama merupakan barisan konstan dengan suku $\inline a_{1}$ , maka dapat dibuat suatu daftar susunan barisan-barisan bilangan sebagai berikut,

$\inline \begin{matrix} a_{1}& a_{1} & a_{1} & a_{1}&a_{1}&a_{1} \\ a_{2}& a_{2}+a_{1} & a_{2}+2a_{1} & a_{2}+3a_{1} & a_{2}+4a_{1}&a_{2}+5a_{1}\\ a_{3}& a_{3}+a_{2} & a_{3}+2a_{2}+a_{1} & a_{3}+3a_{2}+3a_{1} & a_{3}+4a_{2}+6a_{1}&a_{3}+5a_{2}+10a_{1}\\ a_{4}& a_{4}+a_{3} & a_{4}+2a_{3}+a_{2} & a_{4}+3a_{3}+3a_{2}+a_{1} & a_{4}+4a_{3}+6a_{2}+4a_{1}&a_{4}+5a_{3}+10a_{2}+10a_{1}\\ .& . & .& . &. &.\\ .& .& . &. &. &.\\ a_{n}& a_{n}+a_{n-1} & . & . &.&. \end{matrix}$

Jika kita cermati, barisan yang dibangun oleh $\inline a_{1}$ adalah baris paling atas dan juga trivial dari daftar kita, sehinga persamaan untuk $\inline a_{1}$ adalah:

$<a_{1}>=a_{1}$

barisan yang dibangun oleh $\inline a_{2}$ tidak lain merupakan barisan aritmatika pada definisi kita, perhatikan koefisien dalam tiap sukunya.

$\inline <a_{2}>=a_{2}+(n-1)a_{1}$

pada barisan yang dibangun oleh $\inline a_{3}$ tugas kita hanyalah menemukan persamaan yang tepat untuk menyatakan tiap koefisien, jika kita cermati $\inline a_{2}$ baru muncul pada suku ke-2 dan $\inline a_{1}$ pada suku ke-3, jadi pola ini dapat dinyatakan sebagai berikut.

$<a_{3}>=a_{3}+(n-1)a_{2}+\frac{(n-1)(n-2)}{2!}a_{1}$

yang apabila proses ini dilanjutkan hingga $\inline a_{n}$ kita akan berakhir pada persamaan umum yang dinyatakan sebelumnya.

Mathematics notes

Translate

Senin, 12 November 2012

Generalisasi Barisan Aritmatika